Lógica

Brincando com números primos

“Escolha um número primo maior que 3. Eleve-o ao quadrado e subtraia 1 dele. O resultado é divisível por 24! Mas, por que?”

Há alguns dias atrás, o Joshua Bloch, programador proeminente e mais conhecido pelo seu belo livro Effective Java, propôs esse problema de aritmética no twitter. Pelo visto, o Joshua Bloch gosta bastante de desafios matemáticos. Na verdade, todo bom programador que eu conheço ou mesmo apenas ouvi falar, tem uma quedinha pela ciência exata. Mas veja bem, isso não significa que para ser bom programador TEM que ser bom em matemática. Isso é apenas uma correlação, não implica causalidade.

Mas, vamos ao que interessa. Por que sempre que eu escolher um primo maior que 3, elevá-lo ao quadrado e subtrair por 1, o resultado sempre será divisível por 24? É bem simples entender porque, mas preste atenção.
Vamos por partes. Escolha um primo (digamos p) maior que 3. Logo temos p > 3.
Elevando ao quadrado e subtraindo 1, temos p²-1, certo?
O que exatamente é p² – 1? Nada mais que o produto de (p + 1) x (p – 1).
A partir daí é “sacada”. Vamos juntar os fatos:

1 – Você sabe que, qualquer que seja o número escolhido, ele faz parte da sequência: p – 1, p, p + 1. Você sabe também que a cada 3 números inteiros em sequência, um tem que ser divisível por 3. Como esse não é p (por definição), será ou p+1 ou p – 1.

2 – Também sabe que acima de 2, todos os primos são ímpares. Logo p + 1 e p – 1 são pares.

3 – Se p – 1 e p + 1 são pares, ao menos um deles tem de ser divisível por 4. Enquanto o outro será divisível por 2 (e não divisível por 4) e 3.

4 – Para um número ser divisível por 8, ele precisa ser divisível por 2 e 4. E para ser divisível por 24, tem de ser divisível por 3 e 8. Logo, temos que (p – 1)(p + 1) cumpre essa premissa perfeitamente. Daí, (p + 1) (p – 1) sempre será divisível por 24.

É uma prova simples e sem muita formalidade. Porém, elegante o bastante para ser apreciada por aqueles que curtem uma aritmética básica. Espero que tenham gostado!

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